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      计算机科学中，有一门基础课程叫做数据结构。它是专门研究现实世界中，物体之间的关系，以及这种关系在计算机中是如何存储的。
1. 数据结构与数据类型 数据结构( data structure)一般意义上有两重含义：
 指数据元素之间存在的特定关系 指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合  数据类型( data type)是和数据结构密切相关的一个概念，它最早出现在高级程序语言中，用以刻画(程序)操作对象的特性。在用高级程序语言编写的程序中，每个变量、常量或表达式都有一个它所属的确定的数据类型，类型明显或隐含地规定了在程序执行期间变量或表达式所有可能取值的范围，以及在这些值上允许进行的操作。
 数据类型(data type)是一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。  2. 逻辑结构 数据结构含义中的“关系”描述的是数据元素之间的逻辑关系，根据数据元素之间关系的不同特性，通常有下列4类基本结构：
 集合结构：数据元素之间除了“同属于一个集合”的关系外，别无其他关系 线性结构：数据元素之间存在一个对个的关系 树形结构：数据元素之间存在个对多个的关系 图状结构：数据元素之间存在多个对多个的关系  3. 存储结构（物理结构） 数据结构在计算机中的表示(又称映像)称为数据的物理结构，又称存储结构。它包括数据元素的表示和关系的表示。数据元素之间的关系在计算机中有两种不同的表示方法，顺序映像和非顺序映像，并由此得到两种不同的存储结构：
 顺序存储结构：特点是借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。 非顺序存储结构（链式存储结构）：特点是借助指示元素存储地址的指针( pointer)表示数据元素之间的逻辑关系，  任何一个算法的设计取决于选定的数据(逻辑)结构，而算法的实现依赖于采用的存储结构。
顺序存储结构的特性：
 只要确定了起始位置，顺序存储结构中的数据元素可以随机存取。O(1)。 在顺序存储结构中插入或删除一个数据元素，其时间消耗主要耗费在移动元素上。(n-1)/2，即O(n)。  非顺序存储结构的特性：
 非顺序存储结构中的数据元素必须从首元素开始寻找，不可以随机存取。(n-1)/2，即O(n)。 在非顺序存储结构中插入或删除一个数据元素，必须先找到该元素的前一个元素，所以复杂度为(n-1)/2，即O(n)。  4. 数据结构与算法 我们试图解决一个问题的时候，首先需要思考问题的解决方法——算法，数据结构则是为了能够配合算法实现目标。
 数据结构是算法的副产品或是结果。  算法和数据结构往往是互不分开的。离开了算法，数据结构就显得毫无意义，而没有了数据结构算法就没有实现的条件。
参考 青岛大学-王卓-数据结构
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    <div class="post-summary">
      算法( algorithm)是对特定间题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每条指令表示一个或多个操作。  1. 算法的特性 一个算法运具有下列5个重要特性：
 有穷性：一个算法必须总是(对任何合法的输人值)在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义，读者理解时不会产生二义性并且，在任何条件下，算法只有惟一的一条执行路径，即对于相同的输入只能得出相同的输出 可行性：一个算法是能行的，即算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个的输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合 输出：一个算法有一个或多个的输出，这些输出是同输入有着某些特定关系的量  2. 时间复杂度 若算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，算法的时间量度记作T(n)=O(f(n))，它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。
3. 空间复杂度 用和时间复杂度类似的定义方法来定义空间复杂度：
S(n)=O(f(n))
若额外空间相对于输入数据量来说是常数，则称此算法为原地工作。
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    <div class="post-summary">
      基础数据结构——线性结构 1. 什么是线性结构 线性结构的特点：
 存在唯一一个被称为“第一个”的数据元素 存在唯一一个被称为“最后一个”的数据元素 除第一个数据元素之外，结构中的每个元素均只有一个前驱 除最后一个数据元素之外，结构中的每个元素均只有一个后继  2. 线性表 线性表是n个数据元素的有限序列。
 顺序表：线性表的顺序表示。用一组地址连续的存储单元依次存储线性表的数据元素。 单链表：线性表的非顺序表示。每个数据元素结点包含一个指针域和一个数据域。 循环链表：单链表首尾相接，整个链表构成一个环。 双向链表：克服单链表的单向性缺点，每个数据元素结点包含两个指针域和一个数据域。  一元多项式常采用线性表来表示（每个元素数据包含系数-指数信息）：若只对多项式进行“求值”等不改变多项式的系数和指数的运算，采用顺序存储结构即可，否则应采用链式存储结构。
3. 栈 栈本质上是一个操作受限的线性表，其数据元素遵循先进后出的原则。
 顺序栈 链式栈  栈有一个重要的应用就是在程序设计语言中实现递归。
 递归函数：一个直接调用自己或通过一系列的调用语句间接地调用自己的函数  其他使用栈的例子有：1）数制转换，计算过程和输出顺序相反；2）括号匹配检测；3）文本编辑软件中的行编辑缓冲区程序实现；4）表达式求值，比如用于实现算符优先算符。
4. 队列 队列本质上是一个操作受限的线性表，其数据元素遵循先进先出的原则。
 顺序队列 链队列 循环队列 双端队列  5. 字符串 字符串的比较。
 定长顺序存储 块链存储  6. 数组和广义表 数组和广义表本质上是线性表在下述含义的扩展：表中的数据元素本身也是一个数据结构。
数组其实可以看作是广义表的特例，两者的区别在于：数组中的元素是同一种类型的，广义表中的元素可以不是同一类型的。
 数组一般采用顺序存储 广义表一般采用链式存储  对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵、稀疏矩阵等可以进行压缩存储。例如稀疏矩阵，可以采用三元组(i,j,aij)来唯一确定一个非零元。
对于m元多项式，通常采用分解主变元的方式表示，这种情况下常采用广义表的链式结构来存储。
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      基础数据结构——树和森林的定义 1. 树的定义 树(Tre)是n(n≥0)个结点的有限集，在任意一棵非空树中：
 有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点 当n&gt;1时，其余结点可分为m(m&gt;0)个互不相交的有限集T1，T2，&hellip;，Tn，其中每一个集合本身又 是一棵树，并且称为根的子树(Sub Tree)。  树的结构定义是一个递归定义，即在树的定义中又用到了树的概念，它道出了树的固有特性。
2. 基本术语 下面列出树结构中的一些基本术语：
 树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。 结点拥有的子树数称为结点的度(Dgre)，度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。 树的度是树内各结点的度的最大值。 结点的子树的根称为该结点的孩子(Chld)，相应地，该结点称为孩子的双亲( Parent)。同一个双亲的孩子之间互称兄弟( Sibling)。将这些关系进一步推广，可认为结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。 结点的层次(Leve)从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。 树中结点的最大层次称为树的深度( Depth)或高度 如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的(即不能互换)，则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子  注意，某些资料中将结点的层次从第零层开始定义，需要注意。
3. 树和森林 森林( Forest)是m(m≥0)棵互不相交的树的集合，对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以以森林和树相互递归的定义来描述树。
就逻辑结构而言，任何一棵树是一个二元组Tree=(root,F)，其中：root是数据元素称做树的根结点：F是m(m≥0)棵树的森林，F=(T1,T2,…，Tn)，其中Ti,=(ri，Fi)称做根root的第i棵子树：当m≠0时，在树根和其子树森林之间存在下列关系
1  RF={&lt;root,ri&gt;|i=1,2,…，m,m≥0}   这个定义将有助于得到森林和树与二又树之间转换的递归定义。
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    <div class="post-summary">
      基础数据结构——二叉树-树-森林 1. 二叉树 二叉树( Binary Tree)是一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。
 二叉树：树的度小于等于2的有序树。  二叉树具有下列重要特性：
 在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i≥1）利用归纳法容易证得此性质。 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1） 对任意二叉树，若其叶子结点树为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。   等差数列前n项和：n(a1+an)/2 等比数列前n项和：a1(1-q^n)/(1-q)
设二叉树中度为0的结点为n0，度为1的结点为n1，度为2的结点为n2。 分支数量B=n0+n1+n2-1=2*n2+n1，按结点上连分支计算和结点下连分支计算。
 2. 满二叉树和完全二叉树  满二叉树：深度为k且有2^k-1个结点的二叉树。  可以对满二叉树的结点进行连续编号，约定编号从根结点起，自上而下，从左至右，由此可以引出完全二叉树的定义。注意，不同的资料对完全二叉树的定义可能不同。
 完全二叉树：深度为 k有 n个节点的二叉树，当且仅当其中的每一节点，都可以和同样深度 k的满二叉树，序号为1到n的节点一对一对应时，称为完全二叉树。  完全二叉树的性质：
 具有n个结点的完全二叉树深度为|logn|+1。（log底为2） 含n个结点的完全二叉树，其序号为i的结点：1）若i=1，则根是i；若i&gt;1，则父亲结点是m[i/2]。（m[]向下取整，M[]向上取整）；2）若2i&gt;n，则结点i无左孩子（i为叶子结点），否则其左孩子为2i；3）若2i+1&gt;n，则结点i无右孩子，否则其右孩子结点是2i+1。  3. 二叉树的存储  顺序存储结构：结点按序号顺序存储，无结点需要特殊标识占位。适合完全二叉树，对于插入、删除结点效率很低。 二叉链表：data,leftchild指针,rightchild指针 三叉链表：data,leftchild指针,rightchild指针,parent指针  4. 遍历二叉树和线索二叉树 遍历二叉树问题是指按某个路径巡访二叉树中每个结点，并保证每个结点仅被访问一次。一般采用递归方式实现，按对每个子树的根结点遍历的先后顺序有以下几种方式。
 前（根）序遍历：时间复杂度O(n) 中（根）序遍历：时间复杂度O(n) 后（根）序遍历：时间复杂度O(n)  实际上，遍历二叉树的其实就是以一定规则将二叉树中的结点排列成一个线性序列，得到二叉树中结点的先序序列、中序序列或后序序列。这是一个对非线性结构进行线性化的操作。这些线性序列中的每一个元素都有且仅有一个前驱结点和后继结点。
当我们希望得到二叉树中某一个结点的前驱或者后继结点时，顺序存储结构的二叉树是可以很好得到的，但是对于二叉链表则是无法直接得到的，只能通过遍历一次二叉树得到。每当涉及到求解前驱或者后继就需要将二叉链表遍历一次，非常不方便。
观察二叉树的结构，我们发现指针域并没有充分的利用，有很多“NULL”，也就是存在很多空指针。 对于一个有n个结点的二叉链表，每个节点都有指向左右孩子的两个指针域，一共有2n个指针域。而n个结点的二叉树又有n-1条分支线数(除了头结点，每一条分支都指向一个结点)，也就是存在2n-(n-1)=n+1个空指针域。这些指针域只是白白的浪费空间。因此, 可以用空链域来存放结点的前驱和后继。线索二叉树就是利用n+1个空链域来存放结点的前驱和后继结点的信息。
 指向前驱和后继的指针叫做线索 ，加上线索的二叉树就称之为线索二叉树。  在每一个结点都增设两个标志域LTag和RTag，它们只存放0或1的布尔型变量，占用的空间很小。LTag为0是指向该结点的左孩子，为1时指向该结点的前驱。RTag为0是指向该结点的右孩子，为1时指向该结点的后继。
在中序线索二叉树上遍历二叉树，不需要递归，而且虽然时间复杂度仍为O(n)，但常数因子要比递归遍历算法小。若程序中所用二叉链表需要经常遍历或查找结点在遍历序列中的前驱和后继，则应采用线索链表作存储结构。
5. 树的存储结构  双亲表示法：以一组连续空间（顺序表）存储树的结点，每个结点中附设一个指示器指示其双亲结点在顺序表中的位置。注意，这种方式求结点的孩子时需要遍历整个结构。   孩子表示法：以一组连续空间（顺序表）存储树的结点，每个结点中附设一个指向单链表的指针，该单链表中存储该结点的孩子结点。注意，这种方式求结点的父亲时需要遍历整个结构。   双亲孩子表示法：以一组连续空间（顺序表）存储树的结点，每个结点中附设一个指示器指示其双亲结点在顺序表中的位置，同时附设一个指向单链表的指针，该单链表中存储该结点的孩子结点。   树的二叉链表表示法：链表中结点的两个指针分别指向该结点的第一个孩子结点和下一个兄弟结点。这样可以以二叉链表作为媒介导出树与二叉树之间的对应关系。  6.
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